积分区域的导数

Tian-Hao Zhang (张天昊) · 2025-11-30

通过将微分形式“拉回”处理积分区域的导数，并据此推导了连续介质力学中的连续性方程和磁冻结定理。

连续介质力学中经常需要考虑张量场在物质体 $𝑉_{𝑡}$ 或物质面 $Σ_{𝑡}$ 上的积分，例如推导连续性方程需要考虑 $(d / d 𝑡) \int_{𝑉_{𝑡}} d 𝑉 𝜌,$ MHD中证明磁冻结需要考虑 $(d / d 𝑡) \int_{Σ_{𝑡}} d 𝚺 \cdot 𝑩 .$ 然而，在Euler观点下，作为物质对象， $𝑉_{𝑡}$ 和 $Σ_{𝑡}$ 都是随时间变化的，求导时它们也有贡献。通过换元将积分变量（Euler坐标）换成Lagrange坐标，可以将积分区域的变化转移到被积函数中，从而只需要考虑被积函数的导数——“换元”实际上就是微分形式的拉回，上述做法可以用微分几何的语言清晰地写出。

微分几何复习

设

Eq. (1)

\begin{aligned} 𝜑 : & 𝑀 \to 𝑁, \\ 𝑝 \mapsto 𝜑 (𝑝) \end{aligned}

为光滑流形间的映射。这一映射自然地诱导出切空间之间的 push forward

Eq. (2)

\begin{aligned} 𝜑_{*} : & 𝑇_{𝑝} 𝑀 \to 𝑇_{𝜑 (𝑝)} 𝑁, \\ 𝑣 \mapsto 𝜑_{*} 𝑣, \end{aligned}

其中 $(𝜑_{*} 𝑣) (𝑓) ≔ 𝑣 (𝑓 \circ 𝜑), \forall 𝑓 \in ℱ︀ (𝑁) .$ 这一 push forward 进而自然地诱导出余切空间之间的 pull back

Eq. (3)

\begin{aligned} 𝜑^{*} : & 𝑇_{𝜑 (𝑝)}^{*} 𝑁 \to 𝑇_{𝑝}^{*} 𝑀, \\ 𝜔 \mapsto 𝜑^{*} 𝜔, \end{aligned}

其中 $(𝜑^{*} 𝜔) (𝑣) ≔ 𝜔 (𝜑_{*} 𝑣), \forall 𝑣 \in 𝑇_{𝑝} 𝑀 .$ 更高阶张量之间的推拉可以类似地定义。

坐标形式

设 $𝑝 \in 𝑀$ 附近有局部坐标 ${𝜉^{𝜇}}, 𝑣 = 𝑣^{𝜇} 𝜕 / (𝜕 𝜉^{𝜇}),$ 且 $𝜑 (𝑝) \in 𝑁$ 附近有局部坐标 ${𝑥^{𝜈}}, 𝜔 = 𝜔_{𝜇} d 𝑥^{𝜇};$ 映射 $𝜑$ 的坐标表示为 $𝑥^{𝜇} = 𝑥^{𝜇} (𝜉^{𝜈}) .$ 可以写出 $𝜑_{*} 𝑣$ 和 $𝜑^{*} 𝜔$ 在局部坐标下的形式：

Eq. (4)

\begin{matrix} (𝜑_{*} 𝑣) (𝑓) = 𝑣^{𝜇} \frac{𝜕 (𝑓 \circ 𝜑)}{𝜕 𝜉^{𝜇}} = 𝑣^{𝜇} \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑥^{𝜈}} \frac{𝜕 𝑥^{𝜈}}{𝜕 𝜉^{𝜇}} \\ \Rightarrow 𝜑_{*} 𝑣 = 𝑣^{𝜇} \frac{𝜕 𝑥^{𝜈}}{𝜕 𝜉^{𝜇}} \frac{𝜕}{𝜕 𝑥^{𝜈}}; \\ (𝜑^{*} 𝜔) (𝑣) = 𝜔_{𝜈} d 𝑥^{𝜈} (𝑣^{𝜇} \frac{𝜕 𝑥^{𝜎}}{𝜕 𝜉^{𝜇}} \frac{𝜕}{𝜕 𝑥^{𝜎}}) = 𝑣^{𝜇} 𝜔_{𝜈} \frac{𝜕 𝑥^{𝜎}}{𝜕 𝜉^{𝜇}} 𝛿_{𝜎}^{𝜈} = 𝑣^{𝜇} 𝜔_{𝜈} \frac{𝜕 𝑥^{𝜈}}{𝜕 𝜉^{𝜇}} \\ \Rightarrow 𝜑^{*} 𝜔 = 𝜔_{𝜈} \frac{𝜕 𝑥^{𝜈}}{𝜕 𝜉^{𝜇}} d 𝜉^{𝜇} . \end{matrix}

对于次数更高的微分形式，例如 3 形式，类似地有

Eq. (5)

𝜑^{*} 𝜔 = 𝜔_{𝜈_{1} 𝜈_{2} 𝜈_{3}} \frac{𝜕 𝑥^{𝜈_{1}}}{𝜕 𝜉^{𝜇_{1}}} \frac{𝜕 𝑥^{𝜈_{2}}}{𝜕 𝜉^{𝜇_{2}}} \frac{𝜕 𝑥^{𝜈_{3}}}{𝜕 𝜉^{𝜇_{3}}} d 𝜉^{𝜇_{1}} d 𝜉^{𝜇_{2}} d 𝜉^{𝜇_{3}} .

可见，所谓的“推拉”，其形式与坐标变换相同——只不过坐标变换是在单个流形上进行的，推拉是在两个流形之间；如果 $𝜑$ 是微分同胚，则推拉实际上就是坐标变换。

Theorem: 设 $𝜑 : 𝑀 \to 𝑁$ 为保定向的微分同胚，则

Eq. (6)

\int_{𝑁} 𝜔 = \int_{𝑀} 𝜑^{*} 𝜔 .

积分区域的导数

在连续介质力学的应用中，取

Eq. (7)

\begin{aligned} 𝑀 & = 𝑡 时刻物质体所占的空间区域 𝐾_{𝑡} \subset ℝ^{3}, \\ 𝑁 & = 𝑡 + 𝑠 时刻物质体所占的空间区域 𝐾_{𝑡 + 𝑠} \subset ℝ^{3}, \end{aligned}

连续介质在 $𝑡 + 𝑠$ 时刻相对 $𝑡$ 时刻的“变形”由映射

Eq. (8)

\begin{aligned} 𝜑_{𝑠}^{𝑡} : & 𝐾_{𝑡} \to 𝐾_{𝑡 + 𝑠}, \\ (𝑥^{𝜇}) \mapsto (𝑥_{𝑠}^{𝜇} = 𝑥_{𝑠}^{𝜇} (𝑥^{𝜈})) \end{aligned}

给出——由于 $𝐾_{𝑡}$ 和 $𝐾_{𝑡 + 𝑠}$ 都是 $ℝ^{3}$ 的子集，局部坐标 $𝑥$ 和 $𝑥_{𝑠}$ 都可以整体地定义。假设 $𝜑_{𝑠}^{𝑡}$ 是微分同胚，因而 $𝜑_{𝑠}^{𝑡}$ 可以看成从Euler坐标 $𝑥_{𝑠}$ 到Lagrange坐标 $𝑥$ 的坐标变换。
Eq. (6) 为我们对含参积分区域求导提供了方便：当需要对含参数 $𝑠$ 的积分区域 $𝐾_{𝑡 + 𝑠}$ 求导时，可以通过微分同胚 $𝜑_{𝑠}^{𝑡} : 𝐾_{𝑡} \to 𝐾_{𝑡 + 𝑠}$ 将原积分化为不依赖于参数 $𝑠$ 的另一区域 $𝐾_{𝑡}$ 上的积分¹¹ 如果存在微分同胚 $𝜑_{𝑡}^{0 *} : 𝐾_{0} \to 𝐾_{𝑡},$ 则当然也可以直接拉回到 $𝑡 = 0$ 时刻的区域 $𝐾_{0}$ 上积分。，从而将求导转移到被积的微分形式上²² 由于积分对被积形式和积分区域都是线性的——积分是积分区域与被积形式之间的双线性配对，有Leibniz律 ${d / d 𝑠 |}_{𝑠 = 0} \int_{𝐾_{𝑡 + 𝑠}} 𝜔 (𝑡 + 𝑠) = {d / d 𝑠 |}_{𝑠 = 0} \int_{𝐾_{𝑡 + 𝑠}} 𝜔 (𝑡) + \int_{𝐾_{𝑡}} (𝜕 𝜔 (𝑡)) / (𝜕 𝑡) .$ 不妨设 $𝜔$ 不依赖于 $𝑠,$ 从而可以专注于积分区域改变的影响。：

Eq. (9)

\begin{aligned} {\frac{d^{}}{d 𝑠^{}} |}_{𝑠 = 0} \int_{𝐾_{𝑡 + 𝑠}} 𝜔 & = {\frac{d^{}}{d 𝑠^{}} |}_{𝑠 = 0} \int_{𝐾_{𝑡}} 𝜑_{𝑠}^{𝑡 *} 𝜔 \\ = \int_{𝐾_{𝑡}} {\frac{d^{}}{d 𝑠^{}} |}_{𝑠 = 0} 𝜑_{𝑠}^{𝑡 *} 𝜔 . \end{aligned}

注意到 Lie 导数的定义 ${ℒ︀}_{𝑋} 𝜔 = {d^{} 𝜙_{𝑠}^{*} 𝜔 / d 𝑠^{} |}_{𝑠 = 0}$ （其中 ${𝜙_{𝑠}}_{𝑠 \in ℝ}$ 是由矢量场 $𝑋$ 生成的（局部）单参微分同胚群）与上式的类似性，我们自然希望能将 $𝜑_{𝑠}^{𝑡}$ 看成某个矢量场的以 $𝑠$ 为参数的积分曲线（从而 ${d^{} 𝜙_{𝑠}^{*} 𝜔 / d 𝑠^{} |}_{𝑠 = 0}$ 就是 $𝜔$ 关于该矢量场的 Lie 导数）。于是我们定义一个矢量场 $𝑣_{𝑡} \in 𝒳︀ (𝐾_{𝑡})$ :

Eq. (10)

𝑣_{𝑡} (𝑝) ≔ {\frac{d^{}}{d 𝑠^{}} |}_{𝑠 = 0} 𝜑_{𝑠}^{𝑡} (𝑝), 𝑝 \in 𝐾_{𝑡};

这实际上就是 $𝑡$ 时刻位于 $𝑝$ 处的物质点在该时刻的速度的定义。而后

Eq. (11)

\begin{aligned} {\frac{d^{}}{d 𝑠^{}} |}_{𝑠 = 0} \int_{𝐾_{𝑡 + 𝑠}} 𝜔 & = \int_{𝐾_{𝑡}} {\frac{d^{}}{d 𝑠^{}} |}_{𝑠 = 0} 𝜑_{𝑠}^{𝑡 *} 𝜔 \\ ≕ \int_{𝐾_{𝑡}} {ℒ︀}_{𝑣_{𝑡}} 𝜔 \\ \overset{Cartan's magic formula}{=} \int_{𝐾_{𝑡}} (𝑖_{𝑣_{𝑡}} \circ d + d \circ 𝑖_{𝑣_{𝑡}}) 𝜔 \\ \overset{Stokes' theorem}{=} \int_{𝐾_{𝑡}} 𝑖_{𝑣_{𝑡}} d 𝜔 + \int_{𝜕 𝐾_{𝑡}} 𝑖_{𝑣_{𝑡}} 𝜔, \end{aligned}

其中 $𝑖_{𝑋}$ 是内乘

Eq. (12)

(𝑖_{𝑋} 𝜔) (𝑌_{1}, 𝑌_{2}, \dots, 𝑌_{𝑛 - 1}) ≔ 𝜔 (𝑋, 𝑌_{1}, 𝑌_{2}, \dots, 𝑌_{𝑛 - 1}),

而 $d$ 是外微分：设 $𝑋 = 𝑋^{𝜇} 𝜕 / (𝜕 𝑥^{𝜇}), 𝜔 = 1 / 𝑛! 𝜔_{𝜇_{1} 𝜇_{2} \dots 𝜇_{𝑛}} d 𝑥^{𝜇_{1}} \land d 𝑥^{𝜇_{2}} \land \dots \land d 𝑥^{𝜇_{𝑛}},$ 则

Eq. (13)

\begin{aligned} 𝑖_{𝑋} 𝜔 & = \frac{1}{(𝑛 - 1)!} 𝑋^{𝜇} 𝜔_{𝜇 𝜇_{2} 𝜇_{3} \dots 𝜇_{𝑛}} d 𝑥^{𝜇_{2}} \land d 𝑥^{𝜇_{3}} \land \dots \land d 𝑥^{𝜇_{𝑛}}, \\ d 𝜔 & = \frac{1}{𝑛!} \frac{𝜕 𝜔_{𝜇_{1} 𝜇_{2} \dots 𝜇_{𝑛}}}{𝜕 𝑥^{𝜈}} d 𝑥^{𝜈} \land d 𝑥^{𝜇_{1}} \land d 𝑥^{𝜇_{2}} \land \dots \land d 𝑥^{𝜇_{𝑛}} . \end{aligned}

如果考虑被积形式也随参数变化，则以下公式成立

Eq. (14)

\begin{aligned} \frac{d^{}}{d 𝑡^{}} \int_{𝐾_{𝑡}} 𝜔 (𝑡) & = \int_{𝐾_{𝑡}} (\frac{𝜕 𝜔 (𝑡)}{𝜕 𝑡} + {ℒ︀}_{𝑣_{𝑡}} 𝜔 (𝑡)) \\ = \int_{𝐾_{𝑡}} (\frac{𝜕 𝜔 (𝑡)}{𝜕 𝑡} + 𝑖_{𝑣_{𝑡}} d 𝜔 (𝑡)) + \int_{𝜕 𝐾_{𝑡}} 𝑖_{𝑣_{𝑡}} 𝜔 (𝑡) . \end{aligned}

Question: 能否用 4 维 Lie 导数表达上述公式？

在连续介质力学中的应用

连续性方程

Eq. (15)

𝜔 (𝑡) = 𝜌 (𝑡) 𝜀,

其中 $𝜀 = \sqrt{det (𝑔_{𝑖 𝑗} (𝑥))} d 𝑥^{1} \land d 𝑥^{2} \land d 𝑥^{3}$ 是体元。由散度的定义 ${ℒ︀}_{𝑋} 𝜀 ≕ div (𝑋) 𝜀,$ 故

Eq. (16)

\frac{d}{d 𝑡} \int_{𝐾_{𝑡}} 𝜌 (𝑡) 𝜀 = \int_{𝐾_{𝑡}} (\frac{𝜕 𝜌 (𝑡)}{𝜕 𝑡} + 𝑣_{𝑡} (𝜌 (𝑡)) + 𝜌 (𝑡) div (𝑣_{𝑡})) 𝜀 .

改用通常的写法，上式即为

Eq. (17)

\frac{d}{d 𝑡} \int_{𝐾_{𝑡}} 𝜌 d 𝑉 = \int_{𝐾_{𝑡}} (\frac{𝜕 𝜌}{𝜕 𝑡} + 𝒗 \cdot \nabla 𝜌 + 𝜌 \nabla \cdot 𝒗) d 𝑉 .

以上处理只是在 $𝑡$ 时刻到 $𝑡 + 𝑠$ 时刻的时间段内采用了Lagrange观点。更彻底的Lagrange观点应当是对任意时刻 $𝑡,$ 都将积分拉回到最初的参考构型 $(𝐾_{0}, {𝜉^{𝜇}})$ 进行（假设微分同胚 $𝜑_{𝑡}^{0} : 𝐾_{0} \to 𝐾_{𝑡}$ 存在）：

Eq. (18)

\int_{𝐾_{𝑡}} 𝜀 = \int_{𝐾_{0}} 𝜑_{𝑡}^{0 *} 𝜀 = \int_{𝐾_{0}} \sqrt{det (𝑔_{𝑖 𝑗} (𝜉))} d 𝜉^{1} \land d 𝜉^{2} \land d 𝜉^{3} = \int_{𝐾_{0}} \sqrt{det ({(𝜑_{𝑡}^{0 *} 𝑔)}_{𝑖 𝑗})} d 𝜉^{1} \land d 𝜉^{2} \land d 𝜉^{3},

利用行列式求导公式和度量的 Lie 导数公式，可以直接求出

Eq. (19)

\frac{d}{d 𝑡} \int_{𝐾_{𝑡}} 𝜀 = \int_{𝐾_{0}} div (𝑣_{𝑡}) \sqrt{det (𝑔_{𝑖 𝑗} (𝜉))} d 𝜉^{1} \land d 𝜉^{2} \land d 𝜉^{3} .

磁冻结定理

Eq. (20)

𝜔 (𝑡) = d 𝚺 \cdot 𝑩_{𝑡} = \frac{1}{2} 𝜀_{𝑖 𝑗 𝑘} 𝐵_{𝑡}^{𝑘} d 𝑥^{𝑖} \land d 𝑥^{𝑗} = 𝑖_{𝐵_{𝑡}} 𝜀 .

注意到

Eq. (21)

\begin{aligned} d (𝑖_{𝐵_{𝑡}} 𝜀) & = {ℒ︀}_{𝐵_{𝑡}} 𝜀 = div (𝐵_{𝑡}) 𝜀, \\ 𝑖_{𝑣_{𝑡}} 𝜀 & = d 𝚺 \cdot 𝒗_{𝑡}, \\ 𝑖_{𝑣_{𝑡}} (\frac{1}{2} 𝜀_{𝑖 𝑗 𝑘} 𝐵_{𝑡}^{𝑘} d 𝑥^{𝑖} \land d 𝑥^{𝑗}) & = 𝜀_{𝑖 𝑗 𝑘} 𝑣_{𝑡}^{𝑖} 𝐵_{𝑡}^{𝑘} d 𝑥^{𝑗} = (𝑩_{𝑡} \times 𝒗_{𝑡}) \cdot d 𝒍, \end{aligned}

Eq. (14) 给出（用通常的写法）

Eq. (22)

\frac{d}{d 𝑡} \int_{Σ_{𝑡}} d 𝚺 \cdot 𝑩 = \int_{Σ_{𝑡}} d 𝚺 \cdot (\frac{𝜕 𝑩}{𝜕 𝑡} + 𝒗 div (𝑩)) + \int_{𝜕 Σ_{𝑡}} (𝑩 \times 𝒗) \cdot d 𝒍 .

如果 $𝑩$ 是磁场，则 $div (𝑩) = 0,$ 上式成为

Eq. (23)

\frac{d}{d 𝑡} \int_{Σ_{𝑡}} d 𝚺 \cdot 𝑩 = \int_{Σ_{𝑡}} d 𝚺 \cdot (\frac{𝜕 𝑩}{𝜕 𝑡} - \nabla \times (𝒗 \times 𝑩)) .

也可以考虑微分形式 $𝜔 (𝑡) = d 𝒍 \cdot 𝑨_{𝑡} = 𝐴_{𝑡 𝑖} d 𝑥^{𝑖}$ 在物质线 $𝐶_{𝑡}$ 上的积分的导数：

Eq. (24)

\begin{matrix} d 𝜔 (𝑡) = 𝜕_{𝑗} 𝐴_{𝑡 𝑖} d 𝑥^{𝑗} \land d 𝑥^{𝑖}, \\ 𝑖_{𝑣_{𝑡}} d 𝜔 (𝑡) = 𝑣_{𝑡}^{𝑗} 𝜕_{𝑗} 𝐴_{𝑡 𝑖} d 𝑥^{𝑖} - 𝑣_{𝑡}^{𝑖} 𝜕_{𝑗} 𝐴_{𝑡 𝑖} d 𝑥^{𝑗} = 𝑣_{𝑡}^{𝑗} (𝜕_{𝑗} 𝐴_{𝑡 𝑖} - 𝜕_{𝑖} 𝐴_{𝑡 𝑗}) d 𝑥^{𝑖} = (\nabla \times 𝑨_{𝑡}) \times 𝒗_{𝑡} \cdot d 𝒍; \\ 𝑖_{𝑣_{𝑡}} 𝜔 (𝑡) = 𝐴_{𝑡 𝑖} 𝑣_{𝑡}^{𝑖} . \end{matrix}

Eq. (14) 给出（用通常形式）

Eq. (25)

\frac{d}{d 𝑡} \int_{𝐶_{𝑡}} d 𝒍 \cdot 𝑨 = \int_{𝐶_{𝑡}} (\frac{𝜕 𝑨}{𝜕 𝑡} + (\nabla \times 𝑨) \times 𝒗) + \int_{𝜕 𝐶_{𝑡}} 𝑨 \cdot 𝒗,

其中 $𝜕 𝐶_{𝑡}$ 就是两个点。若 $𝐶_{𝑡}$ 为 $Σ_{𝑡}$ 的边界（因而是闭合曲线）， $𝑨$ 为矢势，则上式给出

Eq. (26)

\frac{d}{d 𝑡} \int_{Σ_{𝑡}} d 𝚺 \cdot 𝑩 = \frac{d}{d 𝑡} \int_{𝐶_{𝑡}} d 𝒍 \cdot 𝑨 = \int_{𝐶_{𝑡}} d 𝒍 \cdot (\frac{𝜕 𝑨}{𝜕 𝑡} - 𝒗 \times 𝑩) = \int_{Σ_{𝑡}} d 𝚺 \cdot (\frac{𝜕 𝑩}{𝜕 𝑡} - \nabla \times (𝒗 \times 𝑩)) .

磁冻结定理用 4 维形式证明起来更直接[4]：设 $𝑈 = 𝑈^{𝜇} 𝜕 / (𝜕 𝑥^{𝜇})$ 为4速， $𝐹 = 1 / 2 𝐹_{𝜇 𝜈} d 𝑥^{𝜇} \land d 𝑥^{𝜈}$ 为电磁场张量，则由 $𝑬 + 𝒗 \times 𝑩 = 𝟎$ 知（注意 $𝑈^{𝜇} 𝐹_{𝜇 𝜈}$ 是单位电荷所受的 4 洛伦兹力）

Eq. (27)

\begin{aligned} {ℒ︀}_{𝑈} 𝐹 & = 𝑖_{𝑈} d 𝐹 + d (𝑖_{𝑈} 𝐹) \\ = 0 + d (𝑈^{𝜇} 𝐹_{𝜇 𝜈} d 𝑥^{𝜈}) \\ = 0 . \end{aligned}

Question: 为什么四维形式这样写？

参考文献
[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/547766124.
[2] 梅加强. 流形与几何初步.
[3] 谢多夫. 连续介质力学（第一卷）.
[4] Wald. Advanced Classical Electromagnetism.
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/1901151820455321836